Constructions à la règle et au compas (problème historique sur les nombres)

 

 

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Simulation du lancer de deux dés identiques et distribution de la somme des faces ( TP utilisant Excel ).

 

 

 

 




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Voici des extraits du programme de Seconde 2000 et de son document d'accompagnement concernant les thèmes d'étude et la place des TICE dans l'enseignement :

Programme 2000:

[...] De plus, un ensemble de thèmes d'études est proposé, dans lequel l'enseignant devra puiser au gré du questionnement et des motivations de ses élèves ; ces thèmes, entourant le contenu du chapitre, permettent de faire vivre l'enseignement au-delà de l'évaluation sur les capacités attendues et de prendre en compte dans une certaine mesure l'hétérogénéité des classes. L'enseignant a toute liberté pour choisir les thèmes au-delà de ces propositions.

Thèmes d'étude.

Pour chacun des chapitres, le professeur choisira, pour l'ensemble des élèves ou pour certains seulement en fonction de leurs centres d'intérêt, un ou plusieurs thèmes d'étude dans la liste ci-dessous.

Statistique

- Simulations d'un sondage ; à l'issue de nombreuses simulations, pour des échantillons de taille variable, on pourra introduire la notion de fourchette de sondage, sans justification théorique. La notion de niveau de confiance 0,95 de la fourchette peut être introduite en terme de "chances" (il y a 95 chances sur 100 pour que la fourchette contienne la proportion que l'on cherche à estimer); on pourra utiliser les formules des fourchettes aux niveaux 0,95, 0,90 et 0,99 pour une proportion observée voisine de 0,5 afin de voir qu'on perd en précision ce qu'on gagne en niveau de confiance. On incitera les élèves à connaître l'approximation usuelle de la fourchette au niveau de confiance 0,95, issue d'un sondage sur n individus (n>30) dans le cas où la proportion observée est comprise entre 0,3 et 0,7, à savoir : .

- Simulations de jeux de pile ou face : distribution de fréquences du nombre maximum de coups consécutifs égaux dans une simulation de 100 ou 200 lancers de pièce équilibrée; distribution de fréquences du gain sur un jeu d'au plus dix parties où on joue en doublant la mise (ou en la triplant) tant qu'on n'a pas gagné. On pourra aussi faire directement l'expérience avec des pièces pour bien faire sentir la notion de simulation.

- Simulations du lancer de deux dés identiques et distribution de la somme des faces. On pourra aussi faire directement l'expérience avec des dés pour bien faire sentir la notion de simulation....

- Simulations de promenades aléatoires sur des solides ou des lignes polygonales, fluctuation du temps et estimation du temps moyen mis pour traverser un cube ou pour aller d'un sommet donné à un autre sommet donné d'une ligne polygonale.

- Simulations de naissances : distribution du nombre d'enfants par famille d'au plus quatre enfants lorsqu'on s'arrête au premier garçon, en admettant que pour chaque naissance, il y a autant de chances que ce soit un garçon ou une fille.

Calcul et fonctions

- Calculatrices et grands nombres.

- Etude détaillée d'un exemple concret de fonction (tarifs téléphoniques, montant de l'impôt en fonction du revenu) : lecture de texte, représentation graphique, variations.

- Sur tableur, explicitation des différentes étapes du calcul d'une formule en appliquant d'une colonne à l'autre une seule opération (+, –, X , /, carré,v¬ ,...). Explicitation de l'enchaînement des fonctions conduisant de x à f(x). Recherche de la formule permettant de passer de la cellule donnant f(x) à la valeur de la cellule recevant x.

- Problèmes historiques sur les nombres, irrationalité de racine de 2, crible d'Ératosthène, ...

- Croissance et fonction du temps. Suites de données annuelles : mesure absolue f(t + 1) – f(t) et mesure relative (coefficient multiplicateur) f(t + 1)/f(t). On observera que l'évolution relative n'est pas visible sur un graphique à graduation régulière.

- Construction, prévision des variations de la somme ou différence de fonctions données par leurs représentations graphiques (on pourra se servir de la demi-somme, plus facile à construire, pour prévoir les variations de la somme).

- Caractérisation des éléments de D et de Q, soit en terme de développement décimal fini ou périodique, soit comme quotient irréductible d'entiers (le dénominateur étant ou non de la forme 2p x 5q).

- Fonction affine par morceaux conforme à un tableau de variation ou un tableau de valeurs et problèmes d'interpolation linéaire.

- A l'aide d'un traceur de courbes, ajustement fonctionnel d'un tableau de valeurs (issues du champ de la physique, de l'économie,... ou reprise d'un problème important dans l'histoire des sciences). On pourra observer que les solutions sont diverses, proposer de se limiter à tel ou tel type de fonctions et s'interroger sur ce que pourrait signifier l'expression "cette solution est "meilleure " que telle autre". À propos d'ajustement linéaire, on réfléchira sur le fait que la description affine de y à partir de x n'implique pas de causalité entre x et y.

Géométrie

- Patrons de pyramides non régulières.

- Repérage sur la sphère; application à la géographie, à l'astronomie.

- Exemples de pavages périodiques du plan.

- Les solides de Platon.

- Exemples de démonstrations classiques par les aires : théorème de Pythagore, théorème de Thalès,...

- Représenter en perspective cavalière et en vraie grandeur une section plane d'un solide de référence dans des cas simples.

- Reconstitution d'un objet à partir de trois vues.

- Reconstitution d'un objet à partir d'une suite de coupes parallèles.

- Empilement de boules et cylindres de même diamètre.

- Exemples de réseaux dans le plan et l'espace (description, exemple des cristaux,..).

- Puzzle 3D (décomposition d'un cube ,...).

- Projections orthogonales d'une sphère ou d'un disque sur un plan.

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Document d'accompagnement :

[...]

7. Place des thèmes.

Pour chacun des chapitres (statistique, calcul et fonctions, géométrie), l'enseignant doit choisir un ou plusieurs thèmes dans la liste proposée par le programme. Divers éléments interviendront pour ce choix : les centres d'intérêt des élèves, les projets d'orientation, les préférences de l'enseignant, les documents disponibles, le style de travail souhaité, les concepts et outils mathématiques à réinvestir, le niveau de difficulté ou d'abstraction, etc. Plusieurs thèmes pourront être traités simultanément dans la classe.

Comme il est indiqué, il s'agit de "faire vivre l'enseignement au-delà de l'évaluation sur les capacités attendues" explicitées par le programme ; cela signifie d'abord que les programmes ultérieurs ne considéreront pas comme acquis en 2 nde les éventuels contenus nouveaux accessibles à travers l'étude de certains thèmes ; cela signifie ensuite que le travail sur les thèmes vise des capacités plus générales telles les capacités à chercher et utiliser une documentation, à réinvestir des acquis antérieurs, à produire un document écrit ou oral de synthèse, etc. ; cela signifie encore que devraient être privilégiées ici des dimensions souvent difficiles à mettre en place dans le cadre normal du cours : plaisir du questionnement et de la découverte, incitation à la curiosité, etc. Le programme ne donne pas d'indication de durée pour le travail sur les thèmes : l'équivalent d'une semaine au moins devrait y être réservée pour chacun des trois chapitres.

 

8. Place des TICE (Technologies d'Information et de Communication pour l'Enseignement).

L’utilisation des outils logiciels, sur ordinateur ou calculatrice, s’avère tout à fait adaptée à de nombreux domaines de l’enseignement des mathématiques : le programme de seconde y fait référence dans chacun de ses chapitres. Sans vouloir systématiser cette utilisation, il s’agit d’exploiter les possibilités offertes lorsqu’elles permettent d’enrichir l’apprentissage ou les moyens d’investigation.

Une démarche expérimentale

L’outil informatique multiplie considérablement les possibilités d'expérimentation dans le champ des nombres et des figures du plan et de l’espace ; ainsi la prise en charge d’un grand nombre de calculs ou d’une multitude de cas de figure permet d’observer et de vérifier empiriquement différentes propriétés. Cet outil élargit les possibilités d’observation et de manipulation ; il permet souvent de mieux poser les questions conduisant à l'introduction d'une notion ou d'une propriété ; lors de la résolution d'un problème géométrique, il permet d'en obtenir rapidement, le plus souvent de façon dynamique et interactive, une représentation concrète : des modifications de l’aspect de la configuration mettent en évidence les invariants ou les propriétés à démontrer. Toute l'attention peut se porter alors sur la démonstration : plutôt qu'une preuve de l'évidence, celle-ci se présente comme l'explicitation d'un processus permettant de passer des caractéristiques de la figure fixées par l'énoncé (utilisées en particulier pour la construire) à cette propriété observable.

Quelques avantages pour l’apprentissage

L’environnement informatique peut permettre aux élèves de s'engager plus personnellement dans une situation ou dans la résolution d'un problème. De plus, il donne presque toujours la possibilité d’étudier une même notion ou propriété sous une plus grande diversité d’aspects ; cela contribue à la démarche d’abstraction propre aux mathématiques et conduit à une meilleure compréhension.

L'usage de calculatrices graphiques permet de relier très facilement et de façon quasi instantanée, les domaines numérique et graphique, et d'enrichir ainsi considérablement l'approche des fonctions. Une réflexion sur les tracés obtenus dans différentes fenêtres peut être développée et contribuer à une meilleure compréhension des propriétés des fonctions. Les calculatrices sont par ailleurs un premier outil de simulation simple pour la partie "statistiques" du programme.

L'usage de tableurs, abordé au collège dans le cadre de l'enseignement technologique, est déjà préconisé dans les programmes de mathématiques de 4 ème et de 3 ème comme moyen d'investigation et de découverte. Pour la 2 nde , cet usage apporte un éclairage complémentaire de la notion de variable et de fonction et facilite la mise en oeuvre de différentes activités numériques riches d'enseignement en particulier sur les différentes formes possibles d'une même expression. En statistique, grâce aux tableurs, on peut étudier en temps réel, les effets de la modification de certaines données d'une série sur ses paramètres. On peut illustrer numériquement et graphiquement les effets de l'augmentation de la taille d'un échantillon d'expériences aléatoires de référence.

Les logiciels de géométrie dynamique conduisent les élèves à utiliser les outils de la géométrie dans un autre contexte. Ils les amènent à se démarquer du dessin : toute tentative de déplacement de la figure par l’élève pénalisera la moindre négligence d’hypothèse de l’énoncé ou au contraire validera la construction. La disponibilité des transformations usuelles incite à les utiliser comme de simples outils puisqu’on se trouve dégagé du problème posé par la construction de l’image. Ces logiciels permettent aussi de représenter simultanément une situation géométrique et la représentation graphique d'une fonction liée à cette situation. [...]

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